在层状介质的假设下，Wylli等人于1956年提出了目前在地球物理测井解释中广泛应用的时间平均方程：
岩石物理学基础
或
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式中：v为纵波速度；vp为孔隙充填物的速度；vm为骨架的速度。
Korvin等人认为时间平均方程有些和Fermat原理不符，因此对该方程进行了仔细的修改：
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式中：vf为孔隙流体的速度。
1960年，Millican假设岩石由沙粒层和泥质层组成，得到适合于泥质砂岩的时间平均方程：
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式中：Tn为泥质的体积分数；vn为泥质的速度。
时间平均方程没有考虑岩石的弹性骨架和孔隙流体之间的耦合，因此只能粗略地估算孔隙介质中的声波速度。1956年，Biot利用Gassmann提出的弹性模量公式研究了多孔介质内的弹性（声）波传播问题。在这个理论中，Biot分别对骨架和孔隙充填部分应用不同的应力-应变公式，而骨架和流体在运动上的耦合通过流体力学参量实现。由于考虑了孔隙流体和固体骨架之间的相对运动，Biot-Gassmann理论在一定程度上描述了孔隙性岩石对声波能量的吸收和衰减。
Biot-Gassmann理论的主要结论是：含饱和流体的多孔介质中存在着3种体波，其中的两种为纵波，另一种为横波；第一类纵波称为快纵波，其性质与常规P波类似；第二类纵波称为慢纵波，以低于横波的速度传播，并且有很强的衰减性质；横波与常规的S波类似。
根据Biot理论，White于1965年提出适用于纵波的White-Gassmann速度公式：
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式中：Kd和μd分别代表干燥岩石的体积模量和剪切模量；Km为骨架的体积模量；Kf为孔隙流体的体积模量，而密度的计算公式为：
ρ=φρf+（1-φ）ρm，ρf=Swρfw+（1-Sw）ρfo（6-7-6）
式中：ρf为油水混合物形成的孔隙流体的密度；ρm为骨架的密度；ρfo为油的密度；ρfw为水的密度；Sw为含水饱和度。
White公式考虑了气体和液体混合对纵波速度的影响。在物理上，因子
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代表干岩石的速度，而因子
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代表流体影响。如果用泊松比vd代替μd有：
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一般来讲，干岩石的泊松比为0.1～0.5，砂岩的泊松比为0.1～0.15。值得注意的是：公式（6-7-10）只能计算纵波速度，而且要求孔隙内充满流体或纯气体。
White公式相当于是对Biot理论在频率为零时的近似。当频率提高时，纵波速度有相应的提高。为了考虑频率的影响，Geestma在Biot理论的基础之上对上述公式进行了改进，完善了气液混合项的影响，同时对White-Gassmann方程中部分参数的物理意义进行了解释。
设cm为流体与干岩石（岩石骨架）的耦合系数（cm→∞时，孔隙流体与岩石颗粒为完全的紧密耦合），则Geestma的改进公式为
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其中的密度由下列公式计算：
ρ=φSwρfw+φ（1-Sw）ρfg+（1-φ）ρm （6-7-12）
式中，ρfg为气体的密度。如果孔隙流体是气水混合物，则
ρf=Swρfw+（1-Sw）ρfg （6-7-13）
孔隙流体的体积模量：
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注意，耦合系数c是频率的函数。
1977年，Dominico发表了下列公式：
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式中：Kp为孔隙充填物的体积模量；Km为骨架的体积模量；KF为矿物颗粒的体积模量；β=KF/Km；c为耦合系数，密度ρ由公式ρ=φρf+（1-φ）ρm确定。
除了上述公式外，对于大孔隙度海洋沉积物经常利用Wood于1930年提出的速度公式：
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岩石由固态矿物颗粒和流体状态的孔隙流体构成，故可以简化为二相体来研究。按由简到繁的顺序，首先来研究规则的等粒球体堆积模型，然后处理裂纹和孔洞模型，在介绍了有效弹性模量上、下限的常用估计方法的基础上，最后介绍常用的Gassmann模型和Biot模型，以及喷射流动和比奥喷射（BISQ）模型。
1.粒状岩石的球体堆积模型
（1）等粒球体立方堆积模型
对于等粒的球状颗粒立方堆积，见本书第一章图1－5a，平行于球体排列选取三个坐标轴。假设颗粒球的半径为a，沿三个坐标轴方向预先施加有大小为珚p的应力，地层条件下，岩石都会处于类似的应力状态下。在应力作用下，球体在相互接触部位附近发生形变，相邻的两球心相互接近，并增加接触面积，形成圆形接触区域，称接触圆。Hertz在1881年就解决了这个问题（参见铁摩辛柯的《弹性理论》），得出接触圆半径b、两层相邻球体相互靠近的距离s以及接触圆上的应力分布等，如图3－13所示。
图3－13 接触模型
储层岩石物理学
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式中：Es是固体颗粒的杨氏模量；vs为泊松比；F是一串球体所支撑的力 是球体半径。
整个堆积体进一步变形的弹性性质取决于初始负载的大小：初始负载越大，则接触区域越大，结构也就越坚固，发生同样形变所对应的应力也就越大，亦即弹性模量越大。如果使球体受力增加 则引起两球心间距离进一步变化Δs。下面导出弹性常数，计算弹性波速度。
任何一种颗粒状物质的弹性常数可归结为平均弹性应力与平均弹性应变之比，首先从式（3－25）得出
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因为平均应变ε＝Δs/（2a），所以弹性波模量（M＝λ＋2μ）为
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由此可知，弹性波模量与压强的三次方根成正比。
下面来考虑弹性波的速度。堆积体的平均密度等于一个球体的质量除以其所占据的立方体的有效体积：
于是，以压强 为预负载时，沿着似球体组成的简单立方体阵列的一个坐标轴方向的纵波传播速度为
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可见，立方堆积模型的纵波速度与压强的六次方根成正比，在岩石密度随深度变化不大时，弹性纵波速度与深度的六次方根成正比。
对于沿立方体轴向传播的横波的考虑方式也是同样的，预负载是相同的，但是附加的应力 是由x面和y面上的切向牵引力组成。可以得到剪切变形的弹性模量：
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结合平均密度，可以得到横波速度公式：
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可见，横波速度也是与压强的六次方根成正比。
（2）球体其他堆积模型
立方堆积模型虽能说明一些问题，但是很难想象实际的固结岩石会采用立方堆积方式，紧密堆积模型则更接近实际情况。Gassmann（1951）计算了等粒球组成的六角形紧密堆积模型中剪切波和压缩波的波速。Duffy和Mindlin（1957）又研究了面心立方晶阵（包括法向和切向力）。Sch?n（1969，1983）采用随机分布的球粒堆积模型计算，取得与实际岩石速度接近的结果。虽然具体形式上有些差别，但弹性模量和波速都与压力的六次方根成正比，即与深度的六次方根成正比。在这一点上，他们与立方堆积的情况是一样的。
一堆球的堆积方式有很多种（Walton，1987）：四方堆积、六方堆积、六方紧密堆积、随机紧密堆积等。堆积的几何形状决定了颗粒状岩石的孔隙度和弹性性质，表3－3给出了上述几种堆积情况的孔隙度、比面和接触点等几何参数。比面积S定义为岩石孔隙总面积（或所有颗粒表面积的和）与岩石总体积之比。
表3－3 不同堆积方式的颗粒状岩石几何参数
注：a为球体半径。
规则堆积适用于晶体性质的研究，而随机堆积更适于岩石的情况。据研究（Walton，1987），随机堆成的一个球平均和其周围的9个球接触，显然，接触的球越多，岩石的孔隙度就越小。
当球状颗粒受到的预应力（岩石围压或压强）为p时，每两个相邻球之间的作用力为
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式中：a为球体半径；φ为岩石孔隙度；C是每个球的平均接触点数。这样，两球接触面的半径为
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求出岩石的正向压缩刚度：
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于是，干燥的随机堆积模型的有效体积模量为
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Mindlin还讨论了颗粒接触后，岩石受剪应力的情况，得到岩石的剪切模量为
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这个公式的基本假定是在互相接触的地方没有滑动发生。
2.裂纹和孔洞
一些碳酸盐类岩石的孔隙主要是相互隔离的孔洞，或者说空腔，在这些空腔内充满水或其他液体。在地幔中也存在着部分熔融的岩浆在晶洞构造中，火山岩有时会形成气孔构造，较坚硬的岩石受力会发生破裂，产生裂纹。所以，有空腔和裂缝的岩石模型是很重要的。
静力学的推导方法，通过计算在有洞穴和无洞穴两种情况下由介质表面的应力传递和单位体积上的弹性能量来推导平均弹性常数。Eshelby（1957）发表了由任意形状的空洞引起能量变化的表达式。对于充液的空洞
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其中：
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公式推导过程中，假设φ很小，因为空洞之间距离很大才能忽略相互之间的影响。对于洞中无液体的情况，kf＝0，并注意到φ＝4πa3/（3L3），其中a为球形空洞的半径，L为只含一个空洞的单位正方体边长。于是提及弹性模量表达式为
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Walsh（1965）通过另一条推理途径，导出低空洞密度的中空球形空洞表达式，结果与Eshelby的结果一致。假定每一个L3的体积内平均只有一个空隙，Walsh给出了对于“硬币形”中空孔隙的表达式
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孔隙方向不影响体积弹性模量。
3.有效弹性模量
实际的岩石不是完全均匀的，它可以有多种矿物颗粒和孔隙组成，当这些颗粒和孔隙的尺度d远远小于弹性波波长λ（d?λ），可以用“有效弹性参数方法”来研究岩石的弹性性质。
有效弹性参数方法把包含许多孔隙的岩石看成是一个理想弹性体，但其弹性参数有这种二相体岩石的有效弹性参数给出。在实验上，可以取一块包括足够多孔隙的岩石（具有代表性），对其施加一个已知力系，虽然岩石内部各点的应力和应变空间分布是不均匀的，但从其平均应力和平均应变的关系求出的就是岩石的有效弹性参数。另一方面，从理论上假定了岩石内部孔隙的大小和形状后，可以求出在边界上施加一定应力后岩石整体的变形，进一步可以计算出孔隙性岩石的有效弹性参数，然后将实验求出的有效力学参数与计算出的进行比较，便可以系统地了解影响弹性波速度的各种因素。
如果想从理论上推测出颗粒和孔隙混合体的有效弹性模量，需要确定①固相和流体相的体积百分比；②各相弹性模量；③各相尺寸、形状等几何因素。如果只能知道各相的相对体积和弹性模量，那么最多只能确定混合体弹性模量的上界和下界。也就是说，实际岩石的弹性模量因颗粒和孔隙的几何因素而有所不同，但不超出上述界限所限定的范围。
（1）Hashing－Strikeman估计
Hashing－Strikeman界限是目前最好的，因为它给出的上界和下界之间的允许范围最小。Hashin Z.和Strikeman S.给出的体变模量和切变模量为
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式中：k1，k2为各相的体变模量；μ1，μ2为各相的切变模量；f1，f2为各相的体积百分比。上、下界的计算是通过交换1和2的值来实现的，一般将较硬的物质以1带入上式，则得到上界，否则得到下界。
Hashing－Strikeman弹性模量界限的物理解释是，介质2以球形分布于空间中，其外面包围着介质1形成的球壳。球壳间的空隙由半径较小的球和球壳充填。这样，两种介质以f1和f2为体积百分比充满整个空间。
（2）Voigt和Reuss界限
为了描述变形体的变形特征，我们需要知道两个弹性参数。原则上知道任何两个弹性参数，其他的参数就可以用这两个参数表示出来。在讨论与孔隙有关的岩石弹性性质时，使用压缩系数β更为方便，其定义为
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式中：εV是岩石体积应变ΔV/V。按岩石力学规定，若压缩是岩石体积减小则体积应变为正。β是体积模量K的倒数：
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压缩系数的单位用兆帕－1（MPa－1）。岩石的有效压缩系数可用空间平均模型来计算，如果知道了组成岩石的矿物和孔隙流体的压缩系数βi（i＝1，2，…，N），岩石的有效压缩系数分别可用沃伊特（Voigt）公式和罗伊斯（Reuss）公式求出来：
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不难证明，通过Voigt模型计算的结果是等效弹性参数估计的上限，而通过Reuss模型得到的则是参数估计的下限。实际岩石测量得到的参数必定落在这两个估计值之间。也有人取上述两个估计值的算术平均值或几何平均值作为压缩系数的估计值。
长久以来，人们一直试图寻找岩石孔隙度与弹性波传播速度的简单关系。然而事实表明，这样的简单关系是不存在的，因为岩石的有效弹性参数是由孔隙度随应力变化的情况决定的，而不是由孔隙度本身确定的。同时孔隙度随压力的变化与孔隙形状有关：球形孔洞很难变形，狭长的裂纹却很容易变形，因此，需要对孔隙的形状进行描述。而描述孔隙形状的最常用参数是纵横比α，球形孔隙α≈1，狭长裂缝α?1。
（3）确定弹性参数的动力学方法———Kuster和Toks?z模型
除了上述静力学方法研究含有孤立非均匀介质的方法外，还有利用平面波经过障碍物时的散射来研究岩石的弹性性质的方法。Kuster和Toks?z（1974）参考了早期对球体式任意形状物体所作的关于散射的工作，利用长波长以及近似理论计算了介质内球状杂质的散射。其研究方法是，考虑平面波经过一个小球形区域V0，该区域内随机分布着一些球状异物（例如空洞），因而构成复合介质，该复合介质球形域被看作一个散射物。其散射位移取决于该复合介质的平均弹性常数（k，μ，ρ）。同样散射位移也可以通过求单个球状物散射位移的总和而得到。这些位移决定于指定复合介质的特性：基质的常数（ks，μs，ρs），所含液体的常数（kf，μf，ρf），散射物的体积密集度，球状物的形状和方位。球状物之间的多重散射则忽略不计。散射位移为单个球状物散射位移之和（没有相移）的假设与球形区域V0本身是个小散射体的假设是一致的。Kuster和Toks?z公式可表示为（White J E，1983）：
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在充满球形空洞密集度较小情况下，上述弹性参数可表为
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三个静力学方程与动力学方法推导出的参数，对于基质中含低密集度充液球体的情况本质上是一样的；在含高密集度散射体的情况下，结果则不一样。一般认为，Kuster和Toks?z关系在孔隙度小于6％的条件下是很准确的。
4.岩石的波速比与泊松比和模量比的关系
在泊松比的定义中已表述，它是一个被检测的量，而且被包含在动态各项模量之间的关系式中（见第一章）。所以，岩石的泊松比可以直接地反映岩石的破碎机理。
利用纵波和横波速度的定义公式，可以得到
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上式说明波速比只与泊松比v有关。
对于大多数岩石来说，其泊松比都在0.25上下，即一般地说，v≈0.25。
在生产实际中，常采用泊松比来评价岩石（体）的状况。如：认为泊松比在0.35～0.40之间变化时，是岩石质量变坏；在0.48～0.49之间，是岩石破碎并充水。
5.岩石的动、静弹性模量
岩石的弹性模量是岩石变形性质的重要参数。弹性模量是材料（岩石）在静载荷作用下应力应变关系的比例系数，在弹性范围内它是一个常数。动弹性模量是利用弹性波在岩石中的传播速度计算得出的应力应变关系。为了区别，前者称静弹性模量（Es），后者称之为动态弹性模量（Ed）。两者分属于不同的校阅方法和理论范畴，其值有所不同。早在20世纪40年代就有人注意分析岩石动、静弹性模量的关系，做了简单的对比，其后又有人逐步分析两者间产生差异的原因等。
岩石动、静弹性模量的比较：对岩石动、静弹性模量进行比较的目的在于验证两者是否一致。有人试图用动态方法替代静态方法，以利于实用。大量试验对比证明，岩石动、静弹性模量并不相同，总的看法是岩石越完整，动、静弹性模量越接近，一般是静弹性模量比动弹性模量低，且随着围压增大，二者差别减少。不少的研究工作者在寻找岩石动、静弹性模量之间的比例关系，结果是两者的比值在很大的范围内变化，甚至同一种岩石，这种比值也不是常数。因此，各种岩石动、静弹性模量的相关方程式均不尽相同。20世纪70年代以来，从理论上或在统计方法上寻找岩石动、静弹性模量之间的变化规律，改进了对比方法，取得了一些进展。如对同一岩体进行两种方法的测量，从而建立岩体的弹性模量和岩体的静态变形性能之间的统计关系，这样可以粗略地根据岩体的动弹性模量来推断静态的弹性模量。因之可用声波方法在原位确定弹性模量。
国内、外一些岩石动、静弹性模量的对比资料说明了两者的差异。
1953年，美国矿业局的资料表明，20种岩石的动弹性模量Ed与静弹性模量Es之比在0.85～2.90之间，动泊松比vd与静泊松比vs之比在1.11～16.0之间。其中高弹性模量的岩石，动、静模量之差较小；动、静泊松比也较接近。
研究还表明，岩石越致密，动、静弹性模量越接近。苏长岩较花岗岩致密，则动、静弹性模量都高，而且动、静弹性模量和动、静泊松比也较接近。
6.饱和岩石的Gassmann方程
储集层岩石具有孔隙或裂隙，这些孔隙中可以饱含液体，也可以由气－液混合物所饱和。当岩石受力时，这个由岩石骨架和孔隙流体组成的整体结构的变形与骨架和孔隙的多个参数有关。Gassmann首先研究了饱含液体（水）岩石受力变形的问题，并得出了简洁的定量关系。
考虑一块岩石，其外部受到流体静压力（围压）P的作用，其内部孔隙压力为P0，现在来讨论不排水情况下它的力学性质。在外部围压P变化时，孔隙体积必然被压缩，而且因为是不排水情况，孔隙液体又不能向外流出，所以孔隙压力必然要随围压的变化而变化。我们把这种不排水情况下岩石的压缩系数记为珋β，下面研究珋β与岩石基质、孔隙流体的关系。
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这就是著名的Gassmann方程，它把饱含水岩石的压缩系数珋β、岩石矿物颗粒的压缩系数βS、孔隙液体的压缩系数βP、干燥岩石（孔隙中水全部排出）的压缩系数βD和岩石孔隙度φ间的关系。
7.饱和岩石的Biot模型
在Gassmann模型中，孔隙流体与岩石骨架间没有相对运动，这适合描述波长很长的低频波的情况，而当频率较高的弹性波在岩石中传播时，岩石中压力梯度不可忽略，孔隙流体会在此压力梯度下流动，于是产生相对于岩石骨架的运动，导致能量的损耗，这时Gassmann模型不再适用。M.A.Biot在20世纪50年代研究了这个问题，并提出了著名的Biot模型。Biot理论假定：由弹性各向同性固体构成骨架，连接骨架孔隙体积空间充满流体，这类流体具有可压缩性，可相对于固体流动，固体与流体的接触面可形成摩擦。这样，除需要Gassmann理论所需参数外，还需要知道液体的黏度η和岩石的渗透率κ。
Biot指出，这两个微分方程既能描述胀缩波，也能描述剪切波。并指出两种胀缩波的存在，一种是通常的地震波；另一种是频率很低的第二类波，认为是一种高度衰减的散射波，因其速度低，也称慢波。由于液体的黏滞性导致衰减。该理论将低频限制在f<0.1·（ηφ/2πκρf），在低频范围内，Biot理论与Gassmann处理的结果一致。
干燥岩石的弹性模量可表为
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式中：K干和K0分别为干燥岩石和矿物的弹性模量；β成为比奥系数，定义为岩石孔隙体积变化量与岩石总体积变化量之比：
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Gassmann方程可表为
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式中：
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Biot模型中，多孔体是由骨架或矿物集合体组成的，它在统计意义上是各向同性的。骨架是弹性体，其内部孔隙充满液体。定义作用于体积元的平均应力等于作用于固体和液体部分上的力的和除以体积元的面积。应变定义由骨架和流体的位移来确定。需要指出的是体积元内部的能量可由应变分量的二次函数来表示，从而导出多孔体的应力－应变关系。与此类似，动能可由固体和流体中质点运动速度的二次函数来表示。固体和流体部分的速度乘积（标积）给出了直观上不明显的质量耦合项。体积元上相等的力导致一对位移耦合微分方程。然后将它分成一对只含有膨胀、另一对只含有旋转的方程。对于非黏滞流体，也已证明有两种类型的膨胀波和一种旋转波在多孔介质中传播，而且无频散和衰减。对于黏滞性流体，其黏滞性通过耗散函数来引入，并假设它与固体和流体相对速度的平方成正比。比例系数与黏度及渗透率有关。耗散函数是每个波动方程中的一项，它引起频散和衰减。
8.喷射流动和比奥喷射（BISQ）模型
Gassmann模型和Biot模型所描述的都属于宏观模型，即流体的流动是均匀的，或称全局流，没有考虑流动的不均匀性，或局部流。这只能适应频率较低（波长较大）的情况，而对于频率较高的问题会出现偏差。为处理这类问题，要研究孔隙的微观结构，Mavko等人提出了喷射流动模型，来描述不均匀的局部流动。该模型认为，细小孔隙因弹性波传播而发生变形，例如发生挤压，使细小孔隙中流体向粗大孔隙挤出，形成喷射流动。Dvorkin和Nur将之于Biot理论结合起来，建立了比奥－喷射（BISQ）统一模型。实际岩石中孔隙内可能含有气体，由于气体的易压缩性，弹性波在岩石中传播时，液体就会发生局部流动，需要用喷射流模型来描述。