从北京大兴机场到房山区启航国际最便宜的交通方式是乘坐地铁和公交。以下是具体路线：
1. 乘地铁大兴国际机场线，到达草桥站。
2. 换乘10号线内环，到达首经贸地铁站。
3. 再换乘地铁房山线，到达长阳地铁站。
4. 最后，步行至长阳地铁站公交站，乘坐F5路外环，在启航国际站下车。
以上是最便宜的交通方式，大约需要1个小时左右的时间。如果您需要更快捷的方式，可以选择其他交通方式，如出租车或网约车，但费用会相对较高。
公交线路：地铁4号线大兴线 → 地铁7号线 → 地铁9号线 → 房山线 → 房35路，全程约36.0公里
1、从北京南站乘坐地铁4号线大兴线,经过2站, 到达菜市口站
2、步行约50米,换乘地铁7号线
3、乘坐地铁7号线,经过4站, 到达北京西站
4、乘坐地铁9号线,经过8站, 到达郭公庄站
5、乘坐房山线,经过5站, 到达广阳城站
6、步行约80米,到达地铁广阳城站
7、乘坐房35路,经过4站, 到达原香小镇站（也可乘坐房28路、房34路、房33路）
8、步行约300米,到达绿地启航国际